"$\sqrt{2}$는 분수가 아니다 — 이 단순한 사실이 수학을 영원히 바꾸었다."
— 정수와 분수만으로는 우주의 모든 길이를 잴 수 없습니다. 한 변이 $1$인 정사각형의 대각선 길이부터 — 수의 세계가 무리수와 만나 비로소 완성되는 실수의 영역으로.
A discovery that shattered ancient mathematics.
1학년에서 우리는 유리수(정수의 비)를 배웠습니다. $\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{7}, -\dfrac{5}{4}, \ldots$. 2학년에서는 그 안의 순환소수까지 — 유리수의 구조를 완성했죠.
그런데 정사각형 한 변이 $1$일 때 대각선의 길이는? 피타고라스 정리로 $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. 이 길이는 분명히 존재하는데 — 어떤 분수로도 표현할 수 없습니다. 이것이 바로 무리수(irrational number)의 발견입니다.
3학년 첫 단원에서 우리는 제곱근 $\sqrt{a}$을 정의하고, 무리수의 세계로 들어갑니다. 그리고 유리수와 무리수를 합한 가장 풍부한 수의 세계 — 실수 $\mathbb{R}$에 도달합니다. 또한 근호를 포함한 식의 사칙연산과 분모의 유리화까지 — 새로운 수의 언어를 배웁니다.
고대 그리스의 피타고라스 학파는 "만물은 수(수 = 정수의 비)"라는 신앙을 가졌습니다. 그러나 그들 중 한 명인 히파소스가 — 한 변이 $1$인 정사각형의 대각선 $\sqrt{2}$가 어떤 분수로도 표현될 수 없음을 증명했습니다. 이 발견은 학파의 모든 신념을 무너뜨렸고, 히파소스는 비밀을 누설한 죄로 바다에 던져졌다는 전설이 전해집니다. 그러나 그가 발견한 진실 — 무리수의 존재 — 은 수학을 더 깊은 진리로 인도했습니다.
From definition to computation — eight lessons.